# Steven Strogatz - 微积分的力量 (Highlights)  ## Metadata **Review**:: [readwise.io](https://readwise.io/bookreview/33863136) **Source**:: #from/readwise #from/weread **Zettel**:: #zettel/fleeting **Status**:: #x **Authors**:: [[Steven Strogatz]] **Full Title**:: 微积分的力量 **Category**:: #books #readwise/books **Category Icon**:: 📚 **Highlighted**:: [[2023-11-05]] **Created**:: [[2023-11-27]] ## Highlights ### 引言 - 如果这个论点是正确的，那么它意味着关于生命、宇宙和万物的终极问题的答案并不是42，为此我要向道格拉斯·亚当斯和《银河系漫游指南》的粉丝致歉。但“深思”（《银河系漫游指南》中的一台超级计算机）的解题思路是正确的，因为宇宙的奥秘确实是一系列数学问题。 ^621831830 #### 写给每个人的微积分读物 - 我们不必为了理解微积分的重要性而学习如何做运算，就像我们不必为了享用美食而学习如何做佳肴一样 ^621831832 #### 无穷原则 - 简言之，微积分就是想让复杂的难题简单化，它十分痴迷于简单性。 ^621831834 - 微积分忽略了原子和其他不可切分实体造成的不便，这不是因为它们不存在，而是因为假装它们不存在会大有帮助。正如我们将在后文中看到的那样，微积分偏好有用的虚构。 ^621831835 - 为了探究任意一个连续的形状、物体、运动、过程或现象（不管它看起来有多么狂野和复杂），把它重新想象成由无穷多个简单部分组成的事物，分析这些部分，然后把结果加在一起，就能理解最初的那个整体。 ^621831836 #keypoint #### 石巨人与无穷 - 数学是理性的，但它一开始并非如此。创造力是直觉的产物，而理性则姗姗来迟。 ^621831838 ### 第一章 无穷的故事 #### 无穷的魅力和危险 - 极限通常比逼近它们的近似值简单。 ^621831841 #### 实无穷之罪 - 他强烈反对实无穷，并认为只有潜无穷才有意义。 ^621831843 #### 芝诺悖论走向数字化 - 任何连续的事物都可以被精确地（而不只是近似地）切分成无穷多个无穷小的部分，这就是无穷原则。在极限和无穷的帮助下，离散和连续融为了一体。 ^621831845 #### 当芝诺悖论遇上量子力学 - 尽管量子力学的许多概念都很激进，但在薛定谔方程中，它保留了空间和时间具有连续性的传统假设。麦克斯韦在他的电磁理论中做出了相同的假设，牛顿的引力理论和爱因斯坦的相对论亦如此。因此，从微积分到理论物理学，它们都建立在空间和时间具有连续性的假设基础之上。到目前为止，这种假设一直非常成功。 ^621831847 - 我们把G、ħ和c的测量值代入这个公式，可以算出普朗克长度约为10–35米，这是一个非常小的距离，相当于质子直径的1022分之一。普朗克时间是光经过这段距离所需的时间，大约是10–43秒。这两个尺度就是极限尺度，在它们之下空间和时间将不再有意义。 ^621831848 ### 第二章 驾驭无穷的勇士 #### 立体主义与微积分 - 抛物线弓形的面积是大三角形面积的4/3 ^621831851 **supports**:: [[The Beauty of Four Thirds]] #### 阿基米德方法 - 今天，这个秘诀被称为阿基米德方法，但我在微积分课上从未听人提到它。学生们已经不再学习这种方法了，不过我发现它的故事和它背后的思想都十分迷人，而且令人震惊。 ^621831853 - 这是对创造性数学研究的诚实描述。数学家不会一下子想到证明方法，而是先产生直觉，再考虑严谨性的问题。 ^621831854 - 阿基米德的惊人洞见是，就像孩子们玩跷跷板一样，只要这些肋条处在适当的位置上，它们就会达到完美的平衡状态。他证明了如果把短肋条滑动到S点，而长肋条的位置保持不变，两者就会达到平衡状态，如图2–24所示。 ^621831855 - 抛物线弓形的所有肋条最终都被移至S点，它们和外接三角形ACD的所有肋条均达到了平衡状态。由于那些长肋条并没有移动，这意味着全部移至S点的抛物线弓形的质量与待在原地的外接三角形ACD的质量达到了平衡状态。 ^621831856 - 由于外接三角形ACD的质量到支点的距离是抛物线弓形的质量到支点距离的1/3，为了使两边达到平衡状态，抛物线弓形的质量必须是外接三角形ACD质量的1/3，这就是杠杆定律。因此，抛物线弓形的面积也必定是外接三角形ACD面积的1/3。外接三角形ACD的面积又是内接三角形ABC面积的4倍，阿基米德由此推导出，抛物线弓形的面积必定是内接三角形ABC面积的4/3，这和我们之前通过对三角形碎片的无穷级数求和得到的结果完全相同！ ^621831857 - 同样地，如果两根琴弦的长度之比为4:3，它们的音高就会相差四度。 ^621831858 - 1998年10月，一本破旧的中世纪祈祷书在佳士得拍卖行参与竞拍，最终被一位匿名的私人收藏家以220万美元的价格拍下。在它的拉丁祈祷文之下，依稀可见模糊的几何图形和用10世纪的希腊文写下的数学文本。这本书是重写本：在13世纪，它的羊皮纸手卷被清洗过，擦去原先的希腊文，并重写上拉丁语的礼拜式文本。幸运的是，它上面的希腊文并未被完全清除，残留的文本中就包含了阿基米德方法的仅存手抄本 ^621831859 #### 从计算机动画到面部手术 - 皮克斯公司的动画师用一个复杂的多面体来塑造格里的头部，这个多面体是三维宝石状的，包含大约4 500个角，角与角之间是平面。动画师通过反复分割这些平面，进行越来越多的细节刻画。与以前的方法相比，这种细分过程占用的计算机内存要少得多，从而大大提升了动画制作的效率。当时，这是计算机动画的一次革命性进步，但实质上，它继承了阿基米德的思想和方法。 ^621831861 #### 探索运动之谜 - 这种用旋转螺旋装置来驱动物体的方法据说也源自阿基米德，为了纪念他，今天我们称该装置为阿基米德螺旋泵。 ^621831863 - 更广泛地讲，他的杰出贡献在于，第一次有原则地利用无穷过程去量化曲线形状的几何特性。在这一点上，他是无可匹敌的，直到今天仍然如此。 ^621831864 ### 第3章 运动定律的探索之旅 - 虽然阿基米德在他的杠杆定律和流体静力学平衡定律中分别揭示了平衡和浮力的数学原理，但这些定律都仅限于静止状态。伽利略和开普勒冒险冲出了阿基米德的静态世界，去探索物体是如何运动的。 ^621831866 #### 亚里士多德的世界观 - 这种观测结果引导古希腊天文学家阿利斯塔克提出了最早的日心说，比哥白尼早了大约2 000年。 ^621831868 #### 下落、滚动与奇数定律 - 用伽利略自己的话说，他发现“一个物体从静止开始下落，在相等的时间间隔内，它依次经过的距离之比与从1开始的奇数之比相同”。 ^621831870 平方 #### 科学极简主义的艺术 - 这些都是正确的审美选择：简单、简洁和最小化。 ^621831872 - 换句话说，亚里士多德过于关注噪声（空气阻力），而不够重视信号（惯性和引力）。 ^621831873 - 当发现他的偶像阿基米德研究过的抽象曲线——抛物线——竟然存在于现实世界中时，伽利略兴奋不已。大自然果真在利用几何学。 ^621831874 #### 从摆动的吊灯到GPS - 伽利略的“钟摆摆动的用时总是相同”的论断并不完全正确；摆动幅度越大，用时就会越长。但如果弧足够小，比如不到20度，他的说法几乎就是对的。今天，我们把这种小幅度摆动的节奏不变性称为钟摆的等时性，它构成了节拍器和摆钟（从普通的落地式大摆钟到像伦敦大本钟那样的塔钟）的理论基础。 ^621831876 - 在某些情况下，钟摆和其他现象之间的联系非常精确，以至于同样的方程无须改变就可以反复利用。只有符号需要重新解释，而句法保持不变，这就好像大自然一再地回到同一个模体，不断重复着钟摆型主题。 ^621831877 - 在约瑟夫森预言这些幽灵般的振动现象的两年之后，实验室具备了实现它们所需的条件，并证实了这一预言。由此诞生的器件现在被称为约瑟夫森结 ^621831878 - 航海家在始发港设置好时钟，把家乡时间带出海。为了在船只向东或向西航行时确定经度，航海家可以在当地的正午时分，也就是太阳升到最高点的时候查看时钟。 ^621831879 - 原子钟是伽利略摆钟的现代版本，尽管它和摆钟一样，也是通过计数振动次数来计时，但它追踪的并不是摆锤的来回摆动，而是计数铯原子在其两种能态间来回转换时的振动次数，这种能态转换每秒钟要进行9 192 631 770次。虽然原子钟和摆钟的运行机制不同，但原理是一样的，即重复性的往复运动可以用来计时。 ^621831880 - 本质上，GPS是将非常精确的时间测量值转换为非常精确的距离测量值，然后进一步转化为非常精确的位置和运动测量值。 ^621831881 - 然而，GPS不只是一个定位和导航系统。它使时间同步的精密度达到100纳秒以内，有助于协调银行转账和其他金融交易。GPS还让无线电话和数据网络保持同步，使它们能更高效地共享电磁波谱中的频率。 ^621831882 #### 开普勒与行星运动之谜 - 1591年获得硕士学位后，开普勒开始在图宾根大学学习神学，打算做一名路德教会的牧师。然而，格拉茨的路德教会学校的一位数学老师去世了，教会当局招募新的数学老师，开普勒被选中，他只好不情愿地放弃了做一辈子神职人员的想法。 ^621831884 #### 开普勒第二定律：相等的时间，相等的面积 - 今天它被称为开普勒第二定律，说的是当行星沿轨道运行时，从这颗行星到太阳的假想连线在相等的时间内扫过的面积相等。 ^621831886 - 简言之，第二定律说明，行星并不以恒定的速度运行。相反，离太阳越近，它们的运行速度就越快。 ^621831887 #### 开普勒第三定律：行星的公转周期 - 令开普勒欣喜若狂的数字规律是，他发现行星公转周期的平方与该行星到太阳的平均距离的立方成正比。也就是说，对所有行星而言，T2/a3的值都是相同的。 ^621831889 ### 第4章 微分学的黎明 #### 代数在东方的崛起 - 特别要说明的是，代数源自亚洲和中东地区。它的英文名字algebra衍生于阿拉伯语单词al-jabr，意思是“恢复”或者“破碎部分的重新结合”。 ^621831892 #### 费马vs笛卡儿 - 当一切都拿不准的时候，至少有一件事是确定的，那就是怀疑精神的存在。 ^621831894 - 即使到了今天，学生们仍然在学习笛卡儿坐标，尽管它是费马率先提出来的。 ^621831895 #### 费马如何帮助了美国联邦调查局？ - 模式是让数据压缩成为可能的首要条件。只有模式化的数据才能被压缩，而随机数据则不行。 ^621831897 - 把指纹表示成许多个子波的组合，并利用微积分使它们最优化，从而将指纹档案缩小了20倍以上。 ^621831898 #### 最短时间原理 - 光会以最有效的方式传播——不是以最直接的方式，而是以最快的方式。在光可以采取的所有可能的传播路径中，它知道（或者表现得好像它知道一样）如何尽可能快地从这里到达那里。 ^621831900 ### 第5章 微积分的十字路口 #### 10的次方 - 必须谨慎使用10的次方。它们是十分强大的压缩机，能把巨大的数字缩减到更易于我们理解的程度 ^621831903 分贝 #### 对数 - 如果我们对其他数的对数感兴趣，只要求出数字1~10的对数，即小数部分的值，那么其他所有正数的对数都可以用这些对数来表示。10的次方也有它们自己的任务，就是负责给出整数部分的值。 ^621831905 #### 自然对数及其指数函数 - 当n趋于无穷时，你的存款金额将趋于100与(1+1/n)n的乘积的极限，这个极限被定义为数字e。尽管我们并不清楚该极限值是多少，但事实证明它大约为2.718 28…。 ^621831907 连续复利 - 当n趋于无穷时，你的存款金额将趋于100与(1+1/n)n的乘积的极限，这个极限被定义为数字e。尽管我们并不清楚该极限值是多少，但事实证明它大约为2.718 28…。 ^621831908 连续复利 #### 指数增长与指数式衰减的机制 - ex是它自身的导数。除ex之外，没有其他函数能做到这一点。因此，ex是所有函数中最美妙的，至少在微积分领域如此。 ^621831910 ### 第6章 变化率和导数 - 这就是导数概念的作用，它将变化率定义为一个函数。即使变化率是多变的，导数也会给出某个点或某个时刻的变化率。 ^621831912 #### 微积分的三大核心问题 - 微积分有三大核心问题： ^621831914 1.正向问题：已知一条曲线，求它各处的斜率。 2.反向问题：已知一条曲线各处的斜率，求这条曲线。 3.面积问题：已知一条曲线，求曲线下方的面积。 - 斜率衡量的是变化率，而面积衡量的是变化的累积量。 ^621831915 #### 作为昼长变化率的导数 - 如果一个变量遵循完美的正弦波模式，那么它的变化率也是一个完美的正弦波，并且在时间上提前了1/4个周期。这种自我再生性质是正弦波特有的，而其他类型的波并不具备，它甚至可以当作正弦波的定义。 ^621831917 - 另一个例子是生物学领域的捕食者–被捕食者相互作用模型的简化版。假设有一群鲨鱼在捕食一群鱼，当这群鱼处于种群数量的最大值时，鲨鱼数量的增长速率最快，因为有很多鱼可以吃。鲨鱼数量会继续增加，并在1/4个周期后达到最大值，而此时鱼的数量已经开始下降，因为在1/4个周期之前，它们遭到了大肆捕食。对这个模型的分析表明，两个种群的振动相位差为90度。 ^621831918 #### 作为瞬时速度的导数 - 如果我们可以在分子尺度上进行测量，那么任何形式的运动都会出现同样的情况。在这个级别上，运动变成了一点儿也不平稳的抖动，所以微积分无法再（至少不能直接）给我们提供什么信息。 ^621831920 - 和所有科学领域一样，在建立数学模型时，我们总要对强调什么和忽略什么做出选择。抽象的艺术在于，知道什么是必不可少的，什么是细枝末节的；知道什么是信号，什么是噪声；知道什么是趋势，什么是波动。这是一门艺术，因为诸如此类的选择总是存在着风险，它们与痴心妄想或学术欺诈只有一线之隔。伽利略和开普勒等伟大的科学家都曾想方设法行走在这样的“悬崖峭壁”之上。 ^621831921 - 毕加索说：“艺术是让我们认识真理的谎言。” ^621831922 ### 第7章 隐秘的源泉 - 撇开冠词不谈，calculus这个词本身就有很多故事。它源自拉丁词根calx，意指一块小石头，这不禁让我想起很久以前人们用鹅卵石来计数和计算的情景。 ^621831924 #### 玩转幂级数 - 通过将曲线转换成幂级数，他系统性地求解出它们的面积。 ^621831926 ### 第8章 思维的虚构产物 #### 眨眼之间 - 莱布尼茨率先以一种优美和易于理解的形式公布了微积分，并用一种精心设计的简洁符号来表达它，我们至今仍在使用这种符号。 ^621831929 - 在莱布尼茨的方法中，微分的概念是微积分真正的核心；而导数是次要的，是事后添加的东西，或者说是后来的一种改进。 ^621831930 #### 无穷小量 - 虽然牛顿和莱布尼茨都利用了无穷小量，但牛顿后来又否认了它们，改为支持流数（一阶无穷小量的比率，它们像导数一样是有限的和可接受的）。 ^621831932 #### 2.001的立方 - 这种分级方式会让我们专注于小但却占据主导地位的变化量，而忽略超小甚至更小的其他变化量。虽然这个变化量很小，但和其他变化量相比却是巨大的 ^621831934 #### 微分 - 像6(dx)2+(dx)3这样的其他项去哪里了？答案是：我们舍弃了它们。作为超小和超超小的无穷小量，它们与12dx相比是完全微不足道的，因此可以忽略不计。 ^621831936 - 所以秘诀在于，想要研究无穷小的变化量，就必须保留涉及dx的一次方的项，而忽略其他项。 ^621831937 - 对于这种利用dx之类的无穷小量的思维方式，我们可以从极限的角度重新加以表述，使其变得十分合理和严密，这就是现代教科书的处理方式。但是，使用无穷小量的方法更简单也更快，在这种背景下，它们对应的术语是微分。 ^621831938 #### 莱布尼茨是如何发现微分和基本定理的？ - 凭借在教学方面惊人的先见之明（或者说是运气），惠更斯提出了一个将引领他的学生（莱布尼茨）发现基本定理的问题，即如何求解下面这个无穷级数的和。 ^621831940 - 莱布尼茨能求出这个无穷级数和的关键在于，它有一个非常特殊的结构，可以改写成连续差（在这个例子中是连续单位分数差）之和的形式。这种差结构引发了我们在前文中看到的大规模抵消现象，具有这种性质的和现在被称作“伸缩和” ^621831941 ### 第9章 宇宙的逻辑 #### 牛顿力学与《隐藏人物》 - 凯瑟琳·约翰逊是NASA的一名计算人员，当时的计算工作都是由女性而非机器完成的。 ^621831944 - 在落成典礼上，NASA官员提醒观众说：“尽管全世界有数百万人观看了谢泼德的太空飞行，但当时他们并不知道，让他进入太空并安全返航的那些计算是由我们今天的贵宾凯瑟琳·约翰逊完成的 ^621831945 #### 牛顿微积分与《独立宣言》 - 以牛顿对托马斯·杰斐逊的影响为例，杰斐逊是建筑师、发明家、农场主、美国的第三任总统和《独立宣言》的起草者。牛顿思想的回声贯穿《独立宣言》的始终。 ^621831947 跨领域 - 杰斐逊是建筑师、发明家、农场主、美国的第三任总统和《独立宣言》的起草者。牛顿思想的回声贯穿《独立宣言》的始终，它开头的句子“我们认为这些真理不证自明”就表明了这种修辞结构。 ^621831948 #### 连续体与离散集 - 求解三个或更多物体的微分方程是一场噩梦。 ^621831950 - 但令人惊讶的是，随着物体数量的增加，一直到无穷多个粒子，微分方程又变得易于求解了……只要这些粒子形成连续介质，而不是离散集。 ^621831951 #### 常微分方程与偏微分方程 - 当艾萨克·牛顿解释行星的椭圆轨道时，当凯瑟琳·约翰逊计算约翰·格伦的太空舱轨道时，他们求解的都是常微分方程，这类微分方程只取决于一个自变量。 ^621831953 #### 偏微分方程与波音787客机 - 在20世纪80年代767客机的设计过程中，波音公司建造并测试了77种样机机翼。25年后，通过运用超级计算机来模拟787客机的机翼，他们只需要建造和测试其中的7种。 ^621831955 - 波音公司的数学家将机翼近似分解为几十万个微型立方体、棱柱体和四面体，这些较为简单的形状扮演着基本构建单元的角色。 ^621831956 #### 无处不在的偏微分方程 - 微积分在现代科学中的应用主要体现在偏微分方程的建立、求解和解释上。麦克斯韦方程组是偏微分方程，关于弹性、声学、热流、流体流动和气体动力学的定律也是偏微分方程。这样的例子还有很多，用于为金融期权定价的布莱克–斯科尔斯模型，以及用于描述电脉冲沿神经纤维的传导过程的霍奇金–赫胥黎模型，它们都是偏微分方程。 ^621831958 - 爱因斯坦说，这就是行星绕太阳运行的原因。它们并未感受到力，而只是在弯曲时空中沿阻力最小的路径运动。 ^621831959 ### 第10章 波、微波炉和脑成像 - 他声称可以用一个等效的简单正弦波之和来代替任意一种初始温度分布模式。 正弦波是他的构建单元，他之所以选择正弦波，是因为它们能使问题变得更加简单。 ^621831961 当问题不知如何解决时，不妨假设一个最简单的情况。 - 如果傅里叶能找到将原始温度模式分解成正弦波的方法，他就能分别解决每个正弦波的热流问题。 ^621831962 傅里叶变换 #### 弦理论 - 泛音就是三角波公式中像sin3x和sin5x这样的波对应的音乐术语，它通过加入多倍的基本频率为音符增色。 ^621831964 #### 为什么是正弦波？ - 为了捕捉指纹脊线之类的局部特征，子波得到了美国联邦调查局的认可。在地震分析、艺术品修复与鉴别、面部识别等领域，子波在诸多图像处理与信号处理任务中的表现常常优于正弦波。 ^621831966 - 正弦波的优点在于，它们可以与导数“相处得十分融洽”。具体来说，一个正弦波的导数是另一个正弦波，两者之间存在1/4个周期的位移。 ^621831967 - 对sinx求导两次就相当于让它乘以–1。用一次简单的乘法运算代替两次求导，是一种神奇的简化方式。 ^621831968 - 二阶导数在物理学和工程学领域随处可见，除牛顿方程之外，它们还在热传导方程和波动方程中扮演着重要角色。 ^621831969 #### 振动模态的可视化：克拉德尼图形 - 当他在金属板边缘拉动琴弓时，沙子会从振动最强烈的地方弹开，并落在完全不振动的地方，由此得到的曲线现在被称为克拉德尼图形 ^621831971 #### 微波炉 - 克拉德尼图形实现了二维平面上的驻波可视化。在日常生活中，每当我们使用微波炉的时候，都要依赖于克拉德尼图形的三维对应物。 ^621831973 #### 为什么微波炉最初被称作雷达灶？ - 波动方程最初是作为音乐与振动弦的关联产物被发现的，最终被麦克斯韦用来预测电磁波的存在。自此，真空管、晶体管、计算机、雷达和微波炉相继出现。 ^621831975 ### 第11章 微积分的未来 - 微积分可以由它的信条来定义：在解决关于任意连续体的难题时，先把它切分成无穷多个部分，然后一一求解，最后通过把各个部分的答案组合起来去解决原始的难题。我把这个信条称作无穷原则。 ^621831977 - 微积分与计算机（包括人工智能）之间不断演化的合作关系； ^621831978 #### DNA的缠绕数 - DNA也不能被随意地塞入细胞核。它绝对不能缠绕在一起，而必须以有序的方式打包，这样DNA才能被酶读取，并被翻译成细胞维持生命活动所需的蛋白质。有序的打包方式还有一个重要作用，那就是当细胞分裂时DNA可以被整齐地复制。 ^621831980 - 由于这些酶改变了DNA的拓扑结构，因此被称为拓扑异构酶。它们可以弄断和再连接DNA链，对细胞的分裂和生长起到至关重要的作用。经证实，它们是癌症化学治疗药物的有效靶点。 ^621831981 #### 非线性 - 整体等于部分之和，这是线性的第一个关键特性。线性的第二个特性是，原因与结果成正比。 ^621831983 - 要解决一个线性问题，我们可以先把它分解成几个最简单的部分，再分别求解每个部分，最后把它们组合起来得到答案。 ^621831984 #### 混沌 - 混沌系统是非常讲究细节的，即使是开始方式的小小改变，也会产生大不相同的结果，这是因为初始条件的小变化会以指数方式放大。 ^621831986 - 混沌系统不是随机的，而是确定的，因此短期来看它们是可预测的。 ^621831987 - 混沌系统在某个时间之前是完全可以预测的，这个时间被称为可预测性时界。 ^621831988 #### 计算机、人工智能和洞察力之谜 - 在数学和科学的某些分支领域，我们已经感受到了人类洞察力的黯然失色。有些定理尽管已被计算机证实，但没有人能理解相关证明过程。也就是说，定理是正确的，我们却不知道为什么。而这时候，机器也无法向人类做出解释。 ^621831990 ### 结语 #### 发现正电子 - 此后，正电子一直被用于拯救生命。它们是PET扫描的基础，这种医学成像技术可以让医生看见大脑或其他器官的软组织中代谢活动异常的区域。 ^621831993 #### 可以理解的宇宙 - 物质告诉时空该如何弯曲，曲率则告诉物质该如何移动 ^621831995